Euripidész az Alkésztisz előtt is többször szerepelt az athéni drámai versenyeken - egyes forrásaink szerint 442-ben első díjat nyert a Rhészosz-szal vagy a Küklópsz-szal -, a didaszkaliák (az athéni fesztiválok hivatalos feljegyzései) csak most, tehát 438-ban tartalmazzák először részletesen a résztvevők névsorát és a végeredményt. Ezek szerint Euripidész a következő tetralógiával indult a versenyen: Krétai nők, Alkmaión Phókiszban, Télephosz, Alkésztisz. Az első díjat Szophoklész nyerte, Euripidész volt a második. A négy darabból csak az Alkésztisz maradt meg - egyes feltételezések szerint mint szatírjáték- szerepelt a három tragédia mellett.
Az Alkésztisz központi problémája két kulcsfogalom köré csoportosul: önzés és önfeláldozás. Élhet-e Admétosz a neki - s kizárólag neki - felajánlott isteni segítséggel? Kitől várhatja, hogy helyette haljon? E kérdéseken keresztül felmerülnek azok az etikai, erkölcsi, valamint aktuális társadalomkritikai problémák, amelyekkel a későbbi Euripidész-darabokban lépten-nyomon találkozunk: a szó és a vele jelölt dolog egységének megbomlása, a szofisztika felhasználhatósága akár a jó, akár a rossz ügy oldalán, az érték fogalmának megváltozása, a látszat és valóság különbözősége.